Probabilidades

Ç =INTERCECCION

È=UNION

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ejemplo(01):

En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reune las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.
Solución
(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100 personas)
Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.
“ B “ tienen menos de 70 años.
“ E “ no padecen enfermedad contagiosa.
Se verifica :
card ( C ) = 50% de la población; card (E) = 80%; card (B) =50%:
card (E Ç B) = 48%; card (E Ç C) = 32%; card (C Ç B) = 10%;
card (C Ç E Ç B) = 10% ____________________________________________________________________

ejemplo(02):

En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al fútbol y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?
Solución
Pasamos al contrario, es decir calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado al menos a uno de los tres.
p( FÈTÈB) = 0,70 + 0,60 + 0,65 - 0,45 - 0,40 - 0,50 + 0,30 = 0,90
Por lo tanto p(“no sea aficionado a ningún deporte de los tres”) = 1 - 0,90 = 0,10.

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ejemplo(03):

Lanzamos un dado hasta observar por segunda vez un 6. Hallar la probabilidad de que tal cosa suceda antes del quinto lanzamiento.
Solución
Observar un 6 por segunda vez (antes del 5º) puede ocurrir al 2º, 3º ó 4º lanzamiento,
P(ocurra en 2º) =1/36; 6 y 6
P(ocurra en 3º) = 2. (5/6).(1/36)= 5/108; 6  6,  6 6 (dos 6 y otro número cualquiera)
P(ocurra en 4º) = 3. (25/36).(1/36) = 25/432; 66 (dos 6 y los otros dos nº cualesquiera 3 formas para esta situación).
P(observar un 6 por segunda vez antes del 5º lanzamiento)= 1/36 + 5/108 + 25/432 = 0,132

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*****Se lanza una moneda y si sale cara se ponen 7 bolas blancas en una urna y si sale cruz se ponen 4 blancas. Se vuelve a lanzar la moneda y se ponen 5 o 2 bolas negras, según se saque cara o cruz. Despues se saca una bola de urna así compuesta. Veamos las distintas posibilidades:

Si queremos la probabilidad de que sea blanca, se tendrá:
p(B) =7/48 + 7/36 + 1/9 +1/6= 89/144 = 0,62
(El teorema de la probabilidad total formaliza este resultado).
Si sabemos que la bola que ha salido es blanca ¿cuál es la probabilidad de que hayan salido dos caras?
Teníamos los siguientes resultados :
Se extrae blanca cuando CC: 0,14
“ blanca cuando CF: 0,20
“ blanca cuando FC: 0,11 blanca : 0,62
“ blanca cuando FF: 0,17
Esto puede interpretarse así: de cada 62 veces que extraemos blanca, 14 veces ocurre cuando sale CC, luego la proporción es 0,14/0,62 = 0,225%
Podemos afirmar pues que p(CC/B) = 0,225.
La fórmula de Bayes nos justifica este resultado.